2017年硕士研究生《数学(一)》真题

A.ab=

B.ab=-

C.ab=0

D.ab=2

本题答案：
A

设函数f(x)可导，且f(x)f’(x)>0，则（）．

A.f(1)>f(-1)

B.f(1)

C.|f(1)|>|f(-1)|

D.|f(1)|<|f(-1)|

本题答案：
C

函数f(x，y，z)=x2y+z2在点(1，2，0)处沿向量u=(1，2，2)的方向导数为（）．

A.12

B.6

C.4

D.2

本题答案：
D

甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处，如下图所示，实线表示甲的速度曲线v=v1(t)(单位：m／s)，虚线表示乙的速度曲线v=v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0(单位：S)，则（）．

A.t0=10

B.15

C.t0=25

D.t0>25

本题答案：
C

设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（）．

A.E-ααT不可逆

B.E+ααT不可逆

C.E+2ααT不可逆

D.E-2ααT不可逆

本题答案：
A

A.A与C相似，B与C相似

B.A与C相似，B与C不相似

C.A与C不相似，B与C相似

D.A与C不相似，B与C不相似

本题答案：
B

设A，B为随机事件，若0P(A|

)的充分必要
条件是（）．

A.P(B|A)>P(B|)

B.P(B|A))

C.P(|A)>P(B|)

D.P(|A))

本题答案：
A

设X1，X2，…，Xn(n≥2)为来自总体N(μ，1)的简单随机样本，记

，则下列结论中不正确的是（）．

A.

B.

C.

D.

本题答案：
B

本题答案：
0
【解析】

微分方程y”+2y'+3y=0的通解为y=______.

本题答案：

【解析】

内与路径无关，则a=______.

本题答案：
-1
【解析】

______.

本题答案：

【解析】

为线性无关的三维列向量组，则向量组Aα1，Aα2，Aα3的秩为______.

本题答案：
2
【解析】
由α1，α2，α3线性无关可知矩阵(α1，α2，α3)可逆，故r(Aα1，Aα2，Aα3)=r(A(α1，α2，α3))=r(A)，再由r(A)=2得r(Aα1，Aα2，Aα3)=2．

设随机变量X的分布函数为

，其中

(x)为标准正态分布函数，则E(X)=______.

本题答案：
2
【解析】

本题答案：

本题答案：

已知函数y(x)由方程x³+y³—3x+3y-2=0所确定，求y(x)的极值．

本题答案：
解：两边求导得

(I)方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根；
(Ⅱ)方程f(x)f”(x)+[f’(x)]²=0在区间(0，1)内至少存在两个不同的实根．

本题答案：
证明：
(I)

又由于f(x)在[δ，1]上连续，由f(δ)<0,f(1)>0，根据零点定理得至少存在一点ξ∈(δ，1)，使f(ξ)=0，即得证．

设薄片形物体S是圆锥面

被柱面z²=2x割下的有限部分，其上任一点的密
度为u(x，y，z)=9

，记圆锥面与柱面的交线为C．
(I)求C在xOy面上的投影曲线的方程；
(Ⅱ)求S的质量M．

本题答案：
(Ⅰ)

(Ⅱ)

设三阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2．
(I)证明：r(A)=2；
(11)如果β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解．

本题答案：
解：(I)由α3=α1+2α2可得α1+2α2-α3=0，即α1，α2，α3线性相关，因此，|A|=0，
即A的特征值必有0．
又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0，

设二次型f(x1，x2，x3)=

在正交变换x=Qy下的标

准形为，求a的值及一个正交矩阵Q．

本题答案：

设随机变量X，Y相互独立，且X的概率分布为P{X=0}=P{X=2}=

，Y的概率密
度为

(I)求P{Y≤E(Y)}；
(II)求Z=X+Y的概率密度．

本题答案：

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量μ
是已知的，设n次测量结果X1，X2，…，Xn相互独立且均服从正态分布N(μ，σ²)，该工程师
记录的是n次测量的绝对误差Zi=|Xi-μ|(i=1，2，…，n)，利用Z1，Z2，…，Zn估计σ．
(I)求Zi的概率密度；
(Ⅱ)利用一阶矩求σ的矩估计量；
(Ⅲ)求σ的最大似然估计量．

本题答案：